关于 Musielak-Orlicz-Gauss 映像问题

本文中我们开启凸体的 Musielak-Orlicz-Brunn-Minkowski 理论的研究。特别地，我们发展 Musielak-Orlicz-Gauss 映像问题，旨在刻画凸体的 Musielak-Orlicz-Gauss 映像测度。对凸体 $K$，其 Musielak-Orlicz-Gauss 映像测度记为 $\widetilde{C}_{\Theta}(K, \cdot)$，涉及三元组 $\Theta=(G, \Psi, \lambda)$，其中 $G$ 与 $\Psi$ 是定义在 $S^{n-1}\times (0, \infty)$ 上的两个 Musielak-Orlicz 函数，$\lambda$ 是单位球面 $S^{n-1}$ 上的非零有限 Lebesgue 测度。该测度可由 $\widetilde{V}_{G, \lambda}(K)$（$K$ 相对于 $\lambda$ 的一般对偶体积）在通过函数 $\Psi$ 定义的 Musielak-Orlicz 加法对 $K$ 扰动下的变分公式产生。Musielak-Orlicz-Gauss 映像问题包含许多被深入研究的 Minkowski 型问题以及近期的 Gauss 映像问题作为特例。在 $G$ 关于其第二变量递减的条件下，建立了该问题解的存在性。