有限体积共凸集的 Brunn-Minkowski 理论

设 $C$ 为 ${\mathbb R}^n$ 中的一个闭凸锥，具有尖点且包含内点。我们考虑形如 $A=C\setminus A^\bullet$ 的集合，其中 $A^\bullet\subset C$ 是一个闭凸集。若 $A$ 具有有限体积（勒贝格测度），则称 $A$ 为 $C$-共凸集。$C$-共凸集族在由 $C\setminus(A_1\oplus A_2)= (C\setminus A_1)+(C\setminus A_2)$ 定义的加法 $\oplus$ 下是封闭的。我们建立了针对 $C$-共凸集的 Brunn-Minkowski 理论的初步框架，将该加法与体积概念联系起来。特别是，我们确立了 Brunn-Minkowski 型不等式（具有反向不等号）的等号成立条件，引入了混合体积及其积分表示，并证明了具有相等表面积测度的 $C$-共凸集的 Minkowski 型唯一性定理。