关于凸体对数和的进一步研究

我们证明，若 $n$ 维 Lebesgue 测度满足对数 Brunn-Minkowski 不等式 (log-BMI)，则该不等式以及由此导出的 B-猜想对 $n$ 维任意对数凹密度均成立。作为推论，我们证明了平面内任意对数凹密度均满足 log-BMI 和 B-猜想。此外，我们证明 log-BMI 可归结为如下命题：对每个维数 $n$，存在一个满足可积性假设的密度 $f_n$，使得 log-BMI 对该密度下的具有平行面的平行六面体成立。作为我们方法的副产品，我们研究了函数 $t\mapsto |(K+_p\cdot e^tL)^{\circ}|$ 的可能对数凹性，其中 $p\geq 1$ 且 $K$、$L$ 为对称凸体；我们在某些情形下证明了这一点，并作为进一步应用，证实了一类特殊凸体的方差猜想。最后，我们建立了 log-BMI 的一个非平凡对偶形式。