关于一般泛函类的 $L_p$ Brunn-Minkowski 型不等式

本文证明了 $\mathbb{R}^n$ 上标准高斯测度 $\gamma_n(\cdot)$ 的维数 Brunn-Minkowski 不等式的 $L_p$ 版本（对于 $p>1$）。更确切地说，我们证明对于任意具有非空内部的 0-对称凸集、任意 $p>1$ 以及每个 $\lambda \in (0,1)$，有 $$\gamma_n\bigl((1-\lambda)\cdot K+_p \lambda \cdot L\bigr)^{p/n} \geqslant (1-\lambda ) \gamma_n(K)^{p/n} + \lambda \gamma_n(L)^{p/n},$$ 且对于某个 $\lambda \in (0,1)$ 和 $p>1$，等号成立当且仅当 $K=L$。这一结果最近由 Hosle、Kolesnikov 和 Livshyts 在未给出等号条件的情况下，通过一种不同的泛函方法建立，它实际上是 Eskenazis 和 Moschidis (2021) 针对 Gardner 和 Zvavitch (2010) 提出的问题所得到的关于 Minkowski 和（即 $p=1$ 的情形）的著名结果的 $L_p$ 推广。此外，对于凸体的经典 Wills 泛函 $\mathcal{W}(\cdot)$，也得到了一个 $L_p$ Brunn-Minkowski 型不等式。这些结果是一个更一般方法的推论，该方法为我们提供了满足 $L_p$ Brunn-Minkowski 型不等式的其他显著泛函例子，例如具有径向递减密度的不同绝对连续测度。