乘积度量测度空间中的 Brunn-Minkowski 不等式

给定一个满足线性 Brunn-Minkowski 不等式的度量测度空间 $X$，以及第二个满足指数为 $p\ge -1$ 的 Brunn-Minkowski 不等式的度量测度空间 $Y$，我们证明在测度的温和条件下且假设距离为严格内蕴时，具有标准乘积距离和测度的乘积空间 $X\times Y$ 满足阶为 $1/(1+p^{-1})$ 的 Brunn-Minkowski 不等式。当我们考虑受限集合类时，同样的结果成立。我们还证明当 $Y$ 满足 Pr\'ekopa-Leindler 不等式时，在 $X\times Y$ 中可得到线性 Brunn-Minkowski 不等式。特别地，我们证明当考虑标准距离以及具有正递减密度的 $n$ 个一维实测度的乘积测度时，经典 Brunn-Minkowski 不等式对 $\mathbb{R}^n$ 中任意一对弱无条件集（即包含集合中每一点到各坐标子空间投影的集合）成立。这改进了满足高斯 Brunn-Minkowski 不等式的集合类。此外，相关的等周不等式以及最近得到的 Brunn-Minkowski 不等式均由我们的结果导出。