Brunn-Minkowski 不等式的尖锐稳定性：基于最优质输运

Brunn-Minkowski 不等式适用于 $\mathbb{R}^d$ 中有界可测集 $A$ 和 $B$，其形式为 $|A+B|^{1/d} \geq |A|^{1/d}+|B|^{1/d}$。当且仅当 $A$ 和 $B$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的凸集合且同质时，等号成立。在此语境下，稳定性概念关乎当接近等号时，集合 $A$ 和 $B$ 与其各自凸包或公共凸包之间的距离。在最近的突破 [FvHT23] 中，本文作者证明了关于Brunn-Minkowski不等式尖锐稳定性的以下几个民间传说假设：(1) 关于 $A$ 和 $B$ 与其各自凸包之间距离的线性稳定性结果。(2) 关于 $A$ 和 $B$ 与其公共凸包之间距离的二次稳定性结果。如同 [FvHT23] 所宣布的，本文利用 (1) 并结合新颖的最优输运方法，为 (2) 提出了另一种证明方案。