近球形区域的 Minkowski 不等式

我们研究了球体的 C^1-扰动下各种类 Minkowski 不等式的有效性与稳定性。设 K ⊆ R^n 为一个 C^1-接近球体的区域（可能非凸且非平均凸）。我们证明了尖锐的几何不等式 (∫_{∂K} ‖II‖_1 dℋ^{n-1})^{1/(n-2)} ≥ C_1(n) Per(K)^{1/(n-1)}，其中 C_1(n) 是当 K=B_1 时使等式成立的常数（且 ‖II‖_1 是 ∂K 的第二基本形式 II 的特征值绝对值之和）。此外，对于任意 δ>0，若 K 充分 C^1-接近球体，我们展示了几乎尖锐的 Minkowski 不等式 (∫_{∂K} H^+ dℋ^{n-1})^{1/(n-2)} ≥ (C_1(n)-δ) Per(K)^{1/(n-1)}。若 K 是轴对称的，我们证明了具有尖锐常数（即 δ=0）的 Minkowski 不等式。我们还建立了体积型 Minkowski 不等式 (∫_{∂K} H^+ dℋ^{n-1})^{1/(n-2)} ≥ C_2(n) |K|^{1/n} 的尖锐定量稳定性（在球体的 C^1-扰动族中），其中 C_2(n) 是当 K=B_1 时使等式成立的常数。最后，通过构造反例，我们表明若将 H^+ 替换为 H，上述不等式即使对于 C^1-接近球体的区域也不成立。