Brunn-Minkowski 不等式在相似形区域上的尖锐稳定性

我们证明了一个关于在 Brunn-Minkowski 不等式中达到近等式的同质集（homothetic sets）距离凸性有多近的尖锐稳定性结果。特别地，我们解决了 Figalli 和 Jerison 的一个猜想，证明存在通用常数 $C_n,d_n>0$，使得对于正测度的 $A \subset \mathbb{R}^n$，若 $|\frac{A+A}{2}\setminus A| \le d_n |A|$，则对 $\operatorname{co}(A)$ 为 $A$ 的凸包，有 $|\operatorname{co}(A)\setminus A| \le C_n |\frac{A+A}{2}\setminus A|$。