关于鲁兹萨的离散布伦-闵可夫斯基猜想

我们证明了鲁兹萨于 2006 年提出的一个关于布伦-闵可夫斯基不等式离散版本的猜想，该猜想指出：对于任意 $A,B\subset\mathbb{Z}^k$ 以及 $\epsilon>0$，若 $B$ 不被包含于 $n_{k,\epsilon}$ 个平行超平面中，则有 $|A+B|^{1/k}\geq |A|^{1/k}+\left(1-\epsilon\right)|B|^{1/k}$。