立方体子集的离散 Brunn-Minkowski 不等式

我们证明，对于所有 $A, B \subseteq \{0,1,2\}^{d}$，有 $$|A+B|\geq (|A||B|)^{\log(5)/(2\log(3))}.$$ 我们还证明，对于所有有限集 $A,B \subset \mathbb{Z}^{d}$ 以及任意 $V \subseteq\{0,1\}^{d}$，不等式 $$|A+B+V|\geq |A|^{1/p}|B|^{1/q}|V|^{\log_{2}(p^{1/p}q^{1/q})}$$ 对所有 $p \in (1, \infty)$ 成立，其中 $q=\frac{p}{p-1}$ 是 $p$ 的共轭指数。所有估计均与维度无关且具有最佳指数。我们讨论了其在各种相关问题中的应用。