平面中的三角剖分与离散Brunn-Minkowski不等式

对于平面上一点集$A$（不全共线），记${\rm tr}(A)$为$A$的任一三角剖分中三角形的个数；即${\rm tr}(A) = 2i+b-2$，其中$b$和$i$分别为$A$中位于$[A]$边界与内部的点数（我们用$[A]$表示“$A$的凸包”）。我们猜想如下Brunn-Minkowski不等式的类似形式：对任意两点集$A,B \subset {\mathbb R}^2$，有$${\rm tr}(A+B)^{\frac12}\geq {\rm tr}(A)^{\frac12}+{\rm tr}(B)^{\frac12}.$$我们在若干情形下证明该猜想：若$[A]=[B]$，若$B=A\cup\{b\}$，若$|B|=3$，或若$A$与$B$均不含内部点。