平面中单位面积三角形的数量：主题与变体

我们证明了由平面上 $n$ 个点的集合 $S$ 所确定的单位面积三角形的数量为 $O(n^{20/9})$，改进了 Apfelbaum 和 Sharir [Discrete Comput. Geom., 2010] 先前的界限 $O(n^{9/4})$。我们还考虑了该问题的两个特例：(i) 我们通过一个略微精巧的构造表明，如果 $S$ 由三条直线上的点构成，则 $S$ 所跨的单位面积三角形的数量可以是 $\Omega(n^2)$，对于任意三线组均如此（此时该数量总是 $O(n^2)$）。(ii) 我们表明如果 $S$ 是形如 $A\times B$ 的凸网格，其中 $A$、$B$ 分别是具有 $n^{1/2}$ 个实数的凸集（即 $A$ 和 $B$ 的连续元素的差序列均严格递增），则 $S$ 确定 $O(n^{31/14})$ 个单位面积三角形。