利用 Newton-Cotes 求积公式的 Hermite-Hadamard 型不等式

凸函数 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 满足所谓的 Hermite-Hadamard 不等式 $$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^{b}f(t)dt\leq \frac{f(a)+f(b)}{2}.$$ 受上述估计的启发，本文考虑近似单调和凸函数，并对数值积分均值，即 $\frac1{b-a}\mathcal{I}_{n}(f)$，给出上下界，其中 $\mathcal{I}_{n}(f)$ 表示一些最常用的 Newton-Cotes 求积公式。