涉及数值微分公式的 Hermite-Hadamard 型不等式

我们注意到，写成如下形式的 Hermite-Hadamard 不等式 $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{F(y)-F(x)}{y-x}\leq\frac{f(x)+f(y)}{2}$$ 可以被视为两个求积算子 $f\left(\frac{x+y}{2}\right)$、$\frac{f(x)+f(y)}{2}$ 与一个微分公式 $\frac{F(y)-F(x)}{y-x}$ 之间的不等式。我们将此不等式进行推广，用更复杂的项替换中间项。结果表明，在某些情况下，仅需使用 Ohlin 引理即可，正如近期论文 \cite{Rajba} 中所做的那样；然而为了获得更有趣的结果，必须使用更通用的工具。为此，我们使用了 Levin-Ste\v{c}kin 定理，该定理提供了我们所考虑类型的不式成立时的充要条件。