Heinz 不等式的进一步改进

著名的 Heinz 不等式断言：对于 $X \in \mathbb{B}(\mathscr{H})$，$A,B\in \+$，任意酉不变范数 $|||\cdot|||$ 以及 $\nu \in [0,1]$，有 $2|||A^{1/2}XB^{1/2}|||\leq |||A^{\nu}XB^{1-\nu}+A^{1-\nu}XB^{\nu}|||\leq |||AX+XB|||$。在本文中，我们利用函数 $F(\nu)=|||A^{\nu}XB^{1-\nu}+A^{1-\nu}XB^{\nu}|||$ 的凸性、一些积分技巧以及 Hermite--Hadamard 不等式的各种改进，提出了 Heinz 不等式的若干改进。在矩阵情形下，我们证明了对于实数 $\alpha, \beta$，有 \begin{eqnarray*} &&\hspace{-0.5cm}\left|\left|\left|A^{\frac{\alpha+\beta}{2}}XB^{1-\frac{\alpha+\beta}{2}}+A^{1-\frac{\alpha+\beta}{2}}XB^{\frac{\alpha+\beta}{2}}\right|\right|\right|\leq\frac{1}{|\beta-\alpha|} \left|\left|\left|\int_{\alpha}^{\beta}\left(A^{\nu}XB^{1-\nu}+A^{1-\nu}XB^{\nu}\right)d\nu\right|\right|\right|\nonumber\\ &&\qquad\qquad\leq \frac{1}{2}\left|\left|\left|A^{\alpha}XB^{1-\alpha}+A^{1-\alpha}XB^{\alpha}+A^{\beta}XB^{1-\beta}+A^{1-\beta}XB^{\beta}\right|\right|\right|\,, \end{eqnarray*}