无穷 Hankel 矩矩阵的逆

设 $(s_n)_{n\ge 0}$ 为一个不定的 Hamburger 矩序列，令 $\mathcal H=\{s_{m+n}\}$ 为相应的正定 Hankel 矩阵。我们考虑是否存在一个无穷对称矩阵 $\mathcal A=\{a_{j,k}\}$，它是 $\mathcal H$ 的逆，其意义为矩阵乘积 $\mathcal A\mathcal H$ 由绝对收敛级数定义且 $\mathcal A\mathcal H$ 等于单位矩阵 $\mathcal I$，此性质称为 (aci)。$\mathcal A$ 的一个候选者是矩问题再生核的系数矩阵，视为两个复变量的整函数。若此矩阵 $\mathcal A$ 满足 (aci)，则称该矩问题具有性质 (aci)。我们证明这对许多经典的不定矩问题成立，但对 Valent 及其合作者所研究的三次生灭过程的对称化版本不成立。我们主要考虑对称不定矩问题，并给出若干以正交多项式递推系数为条件的 (aci) 成立的充分条件。一个充分条件是递推系数快速递增，即相邻项之比一致有界于严格小于 1 的常数。我们还给出一个简单例子，其中 (aci) 成立，但 $\mathcal H$ 的逆矩阵高度不唯一。