关于 Helson 矩阵：矩问题、非负性、有界性与有限秩

我们研究 Helson 矩阵（也称为乘性 Hankel 矩阵），即形如 $M(\alpha) = \{\alpha(nm)\}_{n,m=1}^\infty$ 的无穷矩阵，其中 $\alpha$ 是一个复数序列。Helson 矩阵被视为 $\ell^2(\mathbb{N})$ 上的线性算子。通过将 Helson 矩阵解释为可数多个变量上的 Hankel 矩阵，我们利用多元矩问题理论证明，在 $\alpha$ 增长不太快的假设下，$M(\alpha)$ 非负当且仅当 $\alpha$ 是 $\mathbb{R}^\infty$ 上某个测度 $\mu$ 的矩序列。然后我们将非负有界 Helson 矩阵 $M(\alpha)$ 表征为那些对应的矩测度 $\mu$ 是可数多变量 Hardy 空间的 Carleson 测度的情况。最后，我们给出了有限秩 Helson 矩阵的完整描述，与经典的 Hankel 矩阵 Kronecker 定理相平行。