有界与紧乘性 Hankel 算子空间

乘性 Hankel 算子是指具有矩阵表示 $M(\alpha) = \{\alpha(nm)\}_{n,m=1}^\infty$ 的算子，其中 $\alpha$ 是 $M(\alpha)$ 的生成序列。令 $\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{M}_0$ 分别表示有界与紧乘性 Hankel 算子空间。在本注记中，我们证明了从算子 $M(\alpha) \in \mathcal{M}$ 到紧算子之间的距离由一个非唯一的紧乘性 Hankel 算子 $N(\beta) \in \mathcal{M}_0$ 所达到，$$\|M(\alpha) - N(\beta)\|_{\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))} = \inf \left \{\|M(\alpha) - K \|_{\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))} \, : \, K \colon \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N}) \textrm{ compact} \right\}.$$ 与这一结果密切相关，我们随后证明 $\mathcal{M}_0$ 的二重对偶与 $\mathcal{M}$ 等距同构，$\mathcal{M}_0^{\ast \ast} \simeq \mathcal{M}$。由此可知 $\mathcal{M}_0$ 是 $\mathcal{M}$ 中的一个 M-理想。对偶空间 $\mathcal{M}_0^\ast$ 等距同构于关于 Dirichlet 卷积的投射张量积。所述结果对有限多圆盘上 Hardy 空间 $H^2(\mathbb{D}^d)$ 上的小 Hankel 算子同样成立。