作用于 Hardy 空间 $H^1$ 与 Dirichlet 空间上的 Hankel 矩阵

若 $\mu$ 为区间 $[0,1)$ 上的有限正 Borel 测度,令 $\mathcal H_\mu$ 为 Hankel 矩阵 $(\mu _{n, k})_{n,k\ge 0}$,其元素为 $\mu _{n, k}=\mu _{n+k}$,其中对 $n=0, 1, 2, \dots$,$\mu_n$ 表示 $\mu$ 的 $n$ 阶矩。该矩阵在单位圆盘 $\mathbb D$ 上所有解析函数 $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ 的空间上形式地诱导算子 $\mathcal{H}_\mu (f)(z)= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{\infty} \mu_{n,k}{a_k}\right)z^n$。当 $\mu$ 为 $[0,1)$ 上 Lebesgue 测度时,算子 $\mathcal H_\mu$ 即经典 Hilbert 算子 $\mathcal H$,其在 $1<p<\infty$ 时对 $H^p$ 有界,但在 $H^1$ 上无界。J. Cima 近期证明了 $\mathcal H$ 是从 $H^1$ 到单位圆上测度 Cauchy 变换空间 $\mathscr C$ 的单射有界算子。\par 已知 $\mathcal H_\mu$ 在 $H^1$ 上良定义当且仅当 $\mu$ 为 Carleson 测度,且此时有 $\mathcal H_\mu (H^1)\subset \,\mathscr C$。此外,它从 $H^1$ 到自身有界当且仅当 $\mu$ 为 $1$-对数 $1$-Carleson 测度。\par 本文证明当 $\mu$ 为 $1$-对数 $1$-Carleson 测度时,$\mathcal H_\mu$ 实际上将 $H^1$ 映入 Dirichlet 型空间 $\mathcal D^1_0$。我们还讨论了当 $\mu$ 为 $\alpha$-对数 $1$-Carleson 测度 ($0<\alpha <1$) 时 $\mathcal H_\mu$ 在 $H^1$ 上的值域。我们也研究了算子 $\mathcal H_\mu$ 在 Bergman 空间与 Dirichlet 空间上的作用。