作用于加权 Bergman 空间与 Dirichlet 空间上的广义 Hilbert 算子

设 $\mu$ 为区间 [0,1) 上的正 Borel 测度。对 $\beta > 0$，广义 Hankel 矩阵 $\mathcal{H}_{\mu,\beta}= (\mu_{n,k,\beta})_{n,k\geq0}$ 其元素为 $\mu_{n,k,\beta}= \int_{[0.1)}\frac{\Gamma(n+\beta)}{n!\Gamma(\beta)} t^{n+k}d\mu(t)$，在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上所有解析函数 $f(z)=\sum_{k=0}^ \infty a_k z^n$ 的空间上形式地诱导出算子 $$\mathcal{H}_{\mu,\beta}(f)(z)=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^\infty \mu_{n,k,\beta}a_k\right)z^n$$。本文刻画了 [0,1) 上使 $\mathcal{H}_{\mu,\beta}(f)(z)= \int_{[0,1)} \frac{f(t)}{{(1-tz)^\beta}} d\mu(t)$ 对加权 Bergman 空间 $A_{\alpha}^p(0<p<\infty,\; \alpha>-1)$ 中所有函数成立的正 Borel 测度，并在其中描述了使 $\mathcal{H}_{\mu,\beta}(\beta>0)$ 为加权 Bergman 空间与 Dirichlet 空间上有界（相应地，紧）算子的那些测度。