平均 Lipschitz 空间与广义 Hilbert 算子

如果 $\mu$ 是区间 $[0, 1)$ 上的一个正 Borel 测度，我们令 $\mathcal H_\mu$ 为 Hankel 矩阵 $\mathcal H_\mu =(\mu _{n, k})_{n,k\ge 0}$，其元素为 $\mu _{n, k}=\mu _{n+k}$，其中对于 $n\,=\,0, 1, 2, \dots$，$\mu_n$ 表示 $\mu$ 的 $n$ 阶矩。该矩阵在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内所有解析函数 $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ 的空间上形式地诱导出算子 $$\mathcal{H}_\mu (f)(z)= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{\infty} \mu_{n,k}{a_k}\right)z^n$$。这是经典 Hilbert 算子的自然推广。本文研究算子 $\mathcal H_\mu$ 在解析函数的平均 Lipschitz 空间上的作用。