作用于某些解析函数空间的 Hilbert 型算子

设 $H(\mathbb{D})$ 为单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上所有解析函数构成的空间。对于 $g\in H(\mathbb{D})$，广义 Hilbert 算子 $\mathcal{H}_{g}$ 定义为 $$\mathcal{H}_{g}(f)(z)=\int_{0}^{1}f(t)g'(tz)dt, \ \ z\in \mathbb{D}, f\in H(\mathbb{D}).$$ 在本文中，我们研究算子 $\mathcal{H}_{g}$ 作用于 $\mathbb{D}$ 中某些解析函数空间的行为。具体而言，对于所有可能的指标 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$，我们完整刻画了使得算子 $\mathcal{H}_{g}$ 从 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^{2}_{\alpha}$ 到 $\mathcal{D}^{2}_{\beta}$ 有界（相应地，紧）的所有 $g\in H(\mathbb{D})$。我们还研究了算子 $\mathcal{H}_{g}$ 在有界解析函数空间 $H^{\infty}$ 上的作用，这推广了经典 Hilbert 算子 $\mathcal {H}$ 作用于 $H^{\infty}$ 的已知结果。特别地，我们考虑了具有非负 Taylor 系数符号的算子 $\mathcal{H}_{g}$ 在对数 Bloch 空间和 Korenblum 空间上的有界性。本工作推广了经典 Hilbert 算子的相应结果。