随机矩阵的矩与超几何正交多项式

我们建立了 $n \times n$ 随机矩阵 $X_n$ 的矩与超几何正交多项式之间的新联系。具体而言，我们将矩 $\mathbb{E}\mathrm{Tr} X_n^{-s}$ 视为复变量 $s \in \mathbb{C}$ 的函数，并完整刻画了其解析结构。我们发现了若干显著特征，包括反射对称性（或函数方程）、复平面上临界线上的零点以及正交关系。该理论的一个应用解决了 Cunden 等人 [F. D. Cunden, F. Mezzadri, N. J. Simm and P. Vivo, J. Math. Phys. 57 (2016)] 关于混沌腔时间延迟矩阵的整数性猜想的一部分。在随机矩阵理论的每一经典系综（Gaussian、Laguerre、Jacobi）中，我们用 Askey 超几何正交多项式方案刻画了矩。我们还计算了矩在 $n\to\infty$ 时的主导阶渐近，并讨论了其对称性与零点。我们讨论了这些现象在随机矩阵设定之外的各个方面，包括经典正交多项式对的乘积与 Wronskian 的 Mellin 变换。当随机矩阵模型具有正交或辛对称性时，我们得到了一个将其矩与超几何正交多项式相联系的新对偶公式。