正矩阵的 Hadamard 乘法的指标 II

给定定非负矩阵 $A \in M_n (C)$，我们研究 A 的极小指标：$I(A) = \max \{\lambda \ge 0 : A\circ B \ge \lambda B$ 对所有 $0\le B$ 成立$\}$，其中 $A\circ B$ 表示 Hadamard 积 $(A\circ B)_{ij} = A_{ij} B_{ij}$。对 $M_n(C)$ 上任意酉不变范数 N，考虑 A 的 N-指标：$I(N,A) = \min\{N(A\circ B) : B\ge 0$ 且 $N(B) = 1 \}$。若 A 具有非负元素，则 $I(A) = I(\| \cdot \|_{sp}, A)$ 当且仅当存在非负元素向量 u 使得 $Au = (1, ..., 1)^T$。我们还证明了 $I(\| \cdot \|_{2}, A)= I(\| \cdot \|_{sp}, {\bar A}\circ A)^{1/2}$。当 A 为对角矩阵或秩 1 矩阵时，我们给出了任意酉不变范数 N 下的 I(N, A) 的公式。作为一个应用，对 Hilbert 空间上有界可逆自伴算子 S，我们求得最佳常数 M(S) 使得对所有 $0 \le T$ 有 $\|STS + S^{-1} T S^{-1} \| \ge M(S) \|T\|$。