秩二双非负矩阵的 Hadamard 幂

我们研究双非负矩阵的 $r\textrm{th}$ Hadamard 幂的秩，并证明矩阵 $A^{\circ r}$ 对每个 $n\times n$ 双非负矩阵 $A$ 且对每个 $r>n-2$ 为正定，当且仅当 $A$ 的任意列都不是其他列的标量倍数。我们特别着重研究秩二、所有元素为正的半正定矩阵的 Hadamard 幂的秩、正性与单调性。