几类带状矩阵的 Hadamard 幂的正定性

设 $\mathbb{P}_G([0,\infty))$ 与 $\mathbb{P}_G^{'}([0,\infty))$ 分别为阶数为 $n$、具有非负元素且零元素的位置由含 $n$ 个顶点的简单图 $G$ 所限制的正半定矩阵与正定矩阵的集合。本文证明：对阶数 $n\geq 3$ 的连通简单图 $G$，在 $\mathbb{P}_G([0,\infty))$ 上保持正半定性的幂集与在 $\mathbb{P}_G^{'}([0,\infty))$ 上保持正定性的幂集恰相同。特别地，这为所有弦图给出了正定临界指数的显式组合描述。利用链序列，证明保持每个具有非负元素的三对角矩阵的正（半）定性的 Hadamard 幂恰为 $r\geq 1$。研究了三对角矩阵的无穷可除性。对一类特殊的五对角矩阵证明了相同结果。