关于正半定矩阵的Hadamard幂

考虑标量$\alpha$的集合，使得任意$n\times n$具有非负元素的正半定(p.s.d.)矩阵的$\alpha$次Hadamard幂为p.s.d.。已知该集合形如$\{0, 1, \dots, n-3\}\cup [n-2, \infty)$。一个自然的问题是“对于一个固定的具有非负元素的正半定矩阵，这样的$\alpha$的集合可能具有什么形式？”。在文献中出现的所有例子中，该集合均为一个有限集与一个半无限区间的并。本文给出了一些矩阵例子，其集合由一个有限集和多于一个的正长度不相交区间组成。事实上，我们证明了对于某些矩阵，通过取足够大的$n$，此类不相交区间的个数可以任意大。本文也考虑了矩阵元素未必非负的情形。