关于正分块矩阵的分数 Hadamard 幂

矩阵的逐项幂在文献中已得到充分研究，最近在高维相关矩阵的正则化中再次受到关注。本文研究了具有复元素的正半定分块矩阵 $(H_{st})_{s,t=1}^n$ 的幂。首先，我们刻画了使得分块幂映射 $(H_{st}) \mapsto (H_{st}^\alpha)$ 保持 Loewner 正定性的幂 $\alpha\in\mathbb{R}$。该刻画是通过利用与 Loewner 发展的矩阵单调函数理论的联系而获得的。其次，我们回顾了 Choudhury [Proc. AMS 108] 之前的工作，他在分块 $H_{st}$ 两两交换的情况下给出了保持正定性的 $\alpha$ 的下界。我们通过刻画该设定下保持正定性的完整幂集，彻底解决了这个问题。我们的刻画将 FitzGerald-Horn、Bhatia-Elsner 和 Hiai 之前关于标量的工作推广到了任意分块大小，特别是推广了 Schur 乘积定理。最后，研究可对角化分块情形的一個自然且统一的框架是用复平面的一般字符替换实幂。因此，我们对这类字符进行了分类，并将我们的结果推广到这一更一般的情形。在我们的研究过程中，给定 $\beta\in\mathbb{Z}$，我们为阈值幂 $\alpha >0$ 提供了上下界，当复字符 $re^{i\theta}\mapsto r^\alpha e^{i\beta\theta}$ 逐项应用于正半定矩阵时，高于该阈值即可保持正定性。特别是，我们完全解决了 Xingzhi Zhan 于 2001 年提出的 $n=3$ 情形的问题。作为一个应用，我们通过分类复平面的字符 $K$，扩展了 de Pillis [Duke Math. J. 36] 之前的工作，使得映射 $(H_{st})_{s,t=1}^n \mapsto (K({\rm tr}(H_{st})))_{s,t=1}^n$ 保持正定性。