固定维数下的矩阵保正性算子. II: Schur函数比的正定性与严格单调性

我们继续研究在固定维数矩阵上逐元素作用的实多项式以保持半正定性，以及相关的Schur多项式序性质分析。先前的工作表明，给定一个具有正系数的实多项式，通过加入一个更高次单项式进行扰动后，存在一个扰动的负下界，该下界刻画了被扰动多项式何时仍保持保正性。我们在此证明，若扰动系数严格大于该下界，则在满足一个易于验证的简单泛型条件下，变换后的矩阵变为正定。我们确定了一个稍强的泛型条件，可确保正定性在边界处出现。该分析通过计算变换后矩阵的秩来补充，其表达依赖于原矩阵在我们先前引入并探讨过的Schubert胞腔型分层中的位置。证明需要将Khare与Tao的Schur单调性结果增强为严格版本，以表明当定义元组满足逐坐标控制条件时，Schur多项式之比在正卦限上沿各坐标严格递增，并在其闭包上非减。