固定维度下逐元素正定性保持函数的符号模式

给定 $I\subset\mathbb{C}$ 和整数 $N>0$，若函数 $f:I\to\mathbb{C}$ 对所有半正定 (p.s.d.) 矩阵 $A=(a_{jk})\in I^{N\times N}$，其逐元素应用 $f[A]=(f(a_{jk}))$ 都是半正定的，则称 $f$ 在 $I^{N\times N}$ 上是逐元素正定性保持的。Schoenberg 和 Rudin 已将这种在所有维度上均保持正定性的函数分类为绝对单调函数 [Duke Math. J. 1942, 1959]。在固定维度 $N$ 下，类似于 Horn 和 Loewner [Trans. AMS 1969] 工作的结果表明，正定性保持函数 $f$ 的前 $N$ 个非零麦克劳林系数为正；且若 $I$ 无界，则其后 $N$ 个系数也为正。然而，对于其他系数，人们所知甚少：迄今为止，对于无界域 $I$，唯一的例子是绝对单调函数，因而在所有维度上均有效；而对于有界域 $I$，非绝对单调保持函数的例子非常少（且是近期才发现的）。在本文中，我们完整刻画了固定维度 $N$ 下，在有界和无界域 $I$ 上正定性保持函数的麦克劳林系数的符号模式。特别地，上述 Horn 型条件已无法进一步改进。这也首次给出了在 $I^{N\times N}$ 上保持半正定矩阵正定性，但在 $I^{(N+1)\times (N+1)}$ 上不保持正定性的多项式。我们利用 Harish-Chandra-Itzykson-Zuber 公式对实指数得到了类似结果。随后，我们从足以理解所有可能符号模式的定性界，转向精确的定量界。作为一个应用，我们扩展了先前关于固定维度下全非负性保持函数的定性和定量结果——包括它们的符号模式。我们推导出若干进一步的应用，包括扩展 Cuttler-Greene-Skandera 的一个舒尔多项式猜想，从而得到实数组弱优化的一种新颖刻画。