保持 Loewner 正定性、单调性和凸性的 Hadamard 幂的完整刻画
泛函分析
2015-02-19 v2 经典分析与常微分方程
摘要
关于 Loewner 序保持正定性、单调性或凸性的对称矩阵逐元素幂次在各种应用中涌现，近期文献中备受关注。继 FitzGerald 和 Horn [J. Math. Anal. Appl., 1977] 之后，众所周知存在一个临界指数，超过该指数的所有逐元素幂次均保持正定性。Hiai (2009) 近期也证明了类似相变现象发生于单调性和凸性中。在本文中，我们完整刻画了在半正定矩阵锥上具有正定性、单调性或凸性的、位于临界指数之下及之上的所有逐元素幂次。随后，我们将原问题推广至对矩阵施加额外秩约束的更一般情形，并对其中的正定、单调或凸幂次进行了完全分类。我们还分类了关于 Loewner 序具有超/次可加性的逐元素幂次。最后，我们将所有先前的刻画推广至含负元素的矩阵。我们的分析使我们能够回答 Bhatia 和 Elsner (2007) 提出的一个问题，即对于何种最小维度，即使是幂函数的偶延拓也不保持 Loewner 正定性。
引用
@article{arxiv.1311.1581,
title = {Complete characterization of Hadamard powers preserving Loewner positivity, monotonicity, and convexity},
author = {Dominique Guillot and Apoorva Khare and Bala Rajaratnam},
journal= {arXiv preprint arXiv:1311.1581},
year = {2015}
}
备注
19 pages; LaTeX; added complete classification of powers preserving sub-additivity