Loewner 正逐项函数与 Cauchy 函数方程可测解的分类

保持 Loewner 正性的逐项函数已被许多学者研究，其中最著名的是 Schoenberg 和 Rudin。继他们的工作之后，已知当作用于任意维数的半正定矩阵时保持正性的函数必然是具有非负 Taylor 系数的解析函数。当维数固定时，Vasudeva 和 Horn 已证明此类函数自动连续且充分可微。上述问题的一个自然细化在于刻画在秩约束下保持正性的函数。本文通过刻画将一般区间内元素的秩为 $1$ 的实半正定矩阵锥保持不变的逐项函数，开启了这一研究。对此类函数的分类与求解 Cauchy 函数方程这一经典问题密切相关，后者存在不可测解。我们证明，在温和的局部可测性假设下，此类函数自动光滑并可被完全刻画。随后，我们将结果推广至对秩为 $1$ 的 Hermitian 复矩阵保持正性的函数分类。