半整数权模形式傅里叶系数的符号

设 $g$ 为半整数权、水平 $4$ 且属于 Kohnen 正子空间的 Hecke 尖形式。令 $c(n)$ 表示 $g$ 的第 $n$ 个傅里叶系数，并规范化使得对所有 $n \geq 1$ 有 $c(n)$ 为实数。Waldspurger 的一个定理通过确立 $c(n)$ 的平方与某个 $L$-函数的中心值成比例，确定了在基本判别式 $n$ 处 $c(n)$ 的大小。然而序列 $c(n)$ 的符号仍然神秘。在广义黎曼假设条件下，我们证明对正比例的基本判别式 $n$ 有 $c(n) < 0$，以及 respectively $c(n) > 0$ 成立。此外我们证明当 $n$ 取遍基本判别式时序列 $\{c(n)\}$ 在正比例的时刻改变符号。无条件地，目前尚不知道这些系数中有正比例的为非零，而我们证明了关于 $c(n)$ 符号的结果，其质量与已知最佳的非消失结果相同。最后我们讨论将结果推广到水平 $4 N$（$N$ 为奇数、无平方因子）的一般半整数权形式 $g$。