关于 Hilbert 尖形式 Fourier 系数的符号

我们证明，给定任意 $\epsilon > 0$ 和权为 $k=(k_1,k_2,...,k_n) \in (2 \mathbb{Z})^n$、满级的本原 adelic Hilbert 尖形式 $f$，存在整理想 $\mathfrak{m}$ 满足 $N(\mathfrak{m}) \ll_{\epsilon} Q_{f}^{9/20+ \epsilon}$，使得 $f$ 的 $\mathfrak{m}$-th Fourier 系数 $C_{f} (\mathfrak{m})$ 为负。这里 $n$ 是相关数域的次数，$N(\mathfrak{m})$ 是整理想 $\mathfrak{m}$ 的范数，$Q_{f}$ 是 $f$ 的分析导子。在任意权重的情形下，我们证明存在整理想 $\mathfrak{m}$ 满足 $N(\mathfrak{m}) \ll_{\epsilon} Q_{f}^{1/2 + \epsilon}$ 使得 $C_{f}(\mathfrak{m}) <0$。我们还证明了当 $k=(k_1,k_2,...,k_n) \in (2 \mathbb{Z})^n$ 时，渐近地一半 Fourier 系数为正而一半为负。