尖形式傅里叶系数的大和

设 $N$ 为固定的正整数，并设 $f\in S_k(N)$ 为由傅里叶展开 $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_f(n)n^{\frac{k-1}{2}}e(nz)$ 给出的本原尖形式。我们考虑部分和 $S(x,f)=\sum_{n\leq x}\lambda_f(x)$。猜想在 $x\geq k^{\epsilon}$ 范围内有 $S(x,f)=o(x\log x)$。Lamzouri 在 arXiv:1703.10582 [math.NT] 中证明，在 $L(s,f)$ 的广义黎曼假设（GRH）下该结论成立。本文中，我们证明该猜想在弱于 GRH 的假设下成立。特别地，我们证明给定 $\epsilon>(\log k)^{-\frac{1}{8}}$ 与 $1\leq T\leq (\log k)^{\frac{1}{200}}$，在 $x\geq k^{\epsilon}$ 范围内有 $S(x,f)\ll \frac{x\log x}{T}$，前提是对于每个满足 $|\phi|\leq T$ 的实数 $\phi$，$L(s,f)$ 在区域 $\left\{s\,:\, \Re(s)\geq \frac34, \, |\Im(s)-\phi| \leq \frac14\right\}$ 中至多有 $\epsilon^2\log k/5000$ 个零点。