除数和与尖形式系数的Landau及Ramanujan近似

1961年，Rankin确定了满足给定素数$q$不整除$\sigma_k(n)$（第$k$个除数和函数）的正整数$n\le x$的个数$S_{k,q}(x)$的渐近行为。通过计算相关的Euler-Kronecker常数$\gamma_{k,q}$（其依赖于$\mathbb Q(\zeta_q)$某些子域的算术），我们得到了$S_{k,q}(x)$渐近展开中的二阶项。利用Ford、Luca与Moree（2014）发展的方法，我们确定了满足$(k, q-1)=1$且Ramanujan对$S_{k,q}(x)$的近似优于Landau近似的那些数对$(k,q)$。这需检验$\gamma_{k,q}<1/2$是否成立，并需要大量的计算数论投入与广泛的计算机使用。我们将结果应用于研究六个尖形式的Fourier系数对某些例外素数的不可整除性，推广了Moree（2004）的早期工作，后者推翻了Ramanujan关于Ramanujan tau函数对五个此类例外素数不可整除性的若干断言。