关于 $a^k+b^k$ 素因子的渐近精确启发式

设 $N_{a,b}(x)$ 计数满足 $p\le x$ 且存在 $k\ge1$ 使 $p$ 整除 $a^k+b^k$ 的素数 $p$ 的个数。已知渐近地 $N_{a,b}(x)$ 以 $c(a,b)x/\log x$ 的速度增长，其中 $c(a,b)$ 为某个以颇为复杂的方式依赖于 $a$ 与 $b$ 的有理数。我们提出一个关于 $N_{a,b}(x)$ 的简单启发式公式，并证明它是渐近精确的，即与 $N_{a,b}(x)$ 具有相同的渐近行为。文中讨论了其与 Ramanujan 和以及特征和的联系。