离散切比雪夫多项式的均匀渐近展开

离散切比雪夫多项式 $t_n(x,N)$ 关于一个分布函数正交,该分布函数是一个在 $x=0,1,\dots,N-1$ 处跳跃量为 1 的阶梯函数,其中 $N$ 是一个固定的正整数。通过使用双重积分表示,我们在双重标度极限下,即 $N\to\infty$ 且 $n/N\to b$(其中 $b\in(0,1)$,$a\in(-\infty,\infty)$),推导出 $t_n(aN,N+1)$ 的两个渐近展开式。第一个展开式涉及合流超几何函数,对 $a\in[0,1/2]$ 均匀成立;第二个展开式涉及 Gamma 函数,对 $a\in(-\infty,0)$ 均匀成立。这两个展开式的有效区间均可稍微扩展,以包含原点的一个邻域。$a\geq 1/2$ 时的渐近展开式可通过 $t_n(aN,N+1)$ 关于 $a=1/2$ 的对称性关系得到。本文还给出了 $t_n(x,N+1)$ 的小零点与大零点的渐近公式。