弱端点奇异性下 Chebyshev 多项式逼近的渐近系数与误差：不同基的影响

在用谱方法求解微分方程时，通常方便地将系数为 $a_{n}$ 的 Chebyshev 多项式 $T_{n}(x)$ 转换为融入边界条件的修正基函数。对于齐次 Dirichlet 边界条件 $u(\pm 1)=0$，常见选择包括“Chebyshev 差分基” $\varsigma_{n}(x) \equiv T_{n+2}(x) - T_{n}(x)$（此处系数记为 $b_{n}$）与“二次因子基函数” $\varrho_{n}(x) \equiv (1-x^{2}) T_{n}(x)$（系数为 $c_{n}$）。若 $u(x)$ 在边界处弱奇异，则 $a_{n}$ 将按某正常数 $\kappa$ 成比例地衰减为 $\mathcal{O}(A(n)/n^{\kappa})$，其中 $A(n)$ 为对数或常数。我们证明 Chebyshev 差分系数 $b_{n}$ 衰减更慢，相差因子 $1/n$，而二次因子系数 $c_{n}$ 衰减还要更慢，为 $\mathcal{O}(A(n)/n^{\kappa-2})$。在无约束 Chebyshev 级数中截断至次数 $n=N$ 的误差在内部为 $\mathcal{O}(|A(N)|/N^{\kappa})$，但在每个端点附近的狭窄边界层内因 $N$ 的一次幂而更差。尽管具有几乎相同的误差范数，Chebyshev 基的误差集中于两端点附近的边界层，而二次因子基与差分基的误差在 $x$ 的整个区间上近乎均匀振荡。同时，对于 Chebyshev 多项式与二次因子基，端点处导数的值为 $\mathcal{O}(N^{2})$，而差分基仅为 $\mathcal{O}(N)$。