切比雪夫谱逼近的误差局部化分析

切比雪夫谱方法在数值计算中被广泛使用。当底层函数存在奇点时，L. N. Trefethen 于 2011 年观察到其切比雪夫插值表现出误差局部化性质，即其在奇点邻域内的误差明显大于其他位置。本文首先对具有奇点的函数的切比雪夫投影给出逐点误差分析，并证明在远离奇点的每一点处次数为 $n$ 的切比雪夫投影的收敛速率比在奇点处快一阶 $n$ 的幂次。这为切比雪夫投影的误差局部化提供了严格证明。然后将我们的分析框架推广至切比雪夫插值、切比雪夫谱微分和勒让德投影，并用类似论证证明其误差局部化。结果表明，除奇点邻域外，切比雪夫谱微分比其最佳对应项收敛更快，并且在奇点位于区间内部的特殊情况下，其在最大范数下甚至比其最佳对应项收敛更快。