Gegenbauer 投影的最优收敛速率与误差局部化

受比较 Gegenbauer 投影与最佳逼近收敛行为之动机驱动，我们研究 Gegenbauer 投影在最大范数下的最优收敛速率。我们表明，在底层函数于椭圆上及椭圆内解析且 $\lambda\leq0$，或可微且 $\lambda\leq1$ 的条件下，Gegenbauer 投影的收敛速率与最佳逼近相同，其中 $\lambda$ 为 Gegenbauer 投影中的参数。若底层函数解析且 $\lambda>0$，或可微且 $\lambda>1$，则 Gegenbauer 投影的收敛速率分别比最佳逼近慢 $n^{\lambda}$ 与 $n^{\lambda-1}$ 因子。一个例外情形是具有端点奇异性的函数，对此 Gegenbauer 投影与最佳逼近对所有 $\lambda>-1/2$ 以相同速率收敛。对于具有内部或端点奇异性的函数，我们为 Gegenbauer 投影的误差局部化现象以及为何除临界点小邻域外 Gegenbauer 投影精度优于最佳逼近提供了理论解释。我们的分析为 Gegenbauer 逼近与相关谱方法的威力提供了根本性的新见解。