具对数正则性函数的最佳逼近与 Chebyshev 展开的奥秘

最佳多项式逼近与 Chebyshev 逼近在数值分析中均很重要。传统上，最佳逼近被认为优于 Chebyshev 逼近，因为它通常在一致范数下考量。然而，Trefethen \cite{Trefethen11sixmyths,Trefethen2020} 注意到对代数奇异性函数它并非总是优于后者。近期 Wang \cite{Wang2021best} 在理论上证明了这一点。本文我们发现，对于具对数正则性的函数，在相同次数下，除极窄边界外，Chebyshev 逼近的点态误差小于最佳逼近的点态误差。截断于次数 $n$ 的 Chebyshev 级数的点态误差为 $O(n^{-\kappa})$（$\kappa = \min\{2\gamma+1, 2\delta + 1\}$），但在弱奇异端点附近的窄边界层内差一个 $n$ 的幂次。我们给出定理解释此效应。