积分渐近展开与Nielsen多对数函数

本文推导了形如 $\int_{0}^{1}f(u)(1+q\cdot u^{n})^{w/n}du$ 的积分当 $n\rightarrow\infty$ 时的完整渐近展开，参数为实数 $w\neq 0$ 且 $q\in(-1,1]$，或 $q=-1$ 时 $w$ 为正数。我们将渐近展开的系数与Nielsen广义多对数函数联系起来。对于 $q=-1$，我们得到多重zeta值的展开，在此设定下退化为普通zeta值。关键点在于对于 $q=1$，积分通常产生交错多重zeta值；我们给出了相关系数序列满足的一个精确对称约束条件，在此条件下所有系数均退化为普通zeta值的多项式。我们还将这一对称性翻译为关于二项式变换的陈述，并验证了若干经典Appell型族（如Euler、Bernoulli、Genocchi和Hermite）的条件。最后，我们获得了关于随机变量范数收敛的精确结果。