关于渐近、Stirling 数、Gamma 函数与多对数

我们应用 Euler–Maclaurin 公式求出和式 $\sum_{k=1}^n (\log k)^p / k^q$、~$\sum k^q (\log k)^p$、~$\sum (\log k)^p /(n-k)^q$、~$\sum 1/k^q (\log k)^p$ 的渐近展开，以闭形式至任意阶（$p,q \in\N$）。这些表达式常可大幅简化，且系数为可识别的常数。渐近式的常数项要么是 $\zeta^{(p)}(\pm q)$（前两个和式），要么是 0（第三个和式），要么给出新的数学常数（第四个和式）。这使得 $\zeta^{(p)}(\pm q)$ 的数值计算快于现有任何软件。其中一个常数也出现在函数 $\sum_{n\geq 2} (n\log n)^{-s}$ 于奇点 $s=1$ 附近的展开中；这需要不完全 gamma 函数的渐近式。相关操作涉及多对数，我们给出了其用 Nielsen 积分表示的形式，以及对 Bernoulli 数的神秘猜想。应用包括确定 $(-z/\log(1-z))^k$ 的 Taylor 系数的渐近增长。我们还给出了第一类 Stirling 数的渐近式及其用调和数表示的公式。