关于 Kempner-Irwin 和数列渐近行为

设 $I(b,d,k)$ 为调和级数中保留恰好包含基数 $b$ 中数字 $d$ 出现次数为 $k$ 的整数的子级数。我们证明了对于固定的 $d$ 和 $k$，$I(b,d,k)-b\log(b)$ 存在关于 $b$ 的倒数幂形式的渐近展开。我们明确给出根据不同情况的四个或五个项。系数涉及 zeta 函数在整数处的值。