Mathieu-Gaussian 级数的渐近性

我们考虑函数项级数 $$S_{\mu,\gamma}(a;\lambda)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^\gamma e^{-\lambda n^2/a^2}}{(n^2+a^2)^\mu}$$ 在参数 $\gamma$、$\lambda>0$ 与 $\mu\geq0$ 取实数值，且当 $|a|\to \infty$ 于扇形 $|\arg\,a|<\pi/4$ 内时的渐近展开。对一般的 $\gamma$ 值，该展开为代数型，其项涉及 Riemann zeta 函数与一个终止合流超几何函数。本研究的主要兴趣在于对应于 $\gamma$ 取偶整数值的情况，此时代数型展开由有限项以及一个包含无限序列、愈发次主导的指数小展开的贡献组成。此情形类似于著名的对应于 $\mu=\gamma=0$ 的 Poisson-Jacobi 公式。文中给出数值例子以说明这些展开的精度。