一类 Mathieu-指数级数的渐近展开

我们考虑函数项级数 $$S_{\mu}^\pm(a;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\pm 1)^n e^{-\lambda n}}{(n^2+a^2)^\mu}$$ 在 $\lambda>0$ 且 $\mu\geq0$ 时，于扇区 $|\arg\,a|<\pi/2$ 中当 $|a|\to \infty$ 的渐近展开。所采用的方法是将 $S_{\mu}^\pm(a;\lambda)$ 表示为轮廓积分，并结合积分路径的适当变形。文中给出数值例子以说明所获各种展开式的精度。