Mathieu-Bessel级数的渐近展开。II

我们考虑Mathieu-Bessel级数 $$S_{\nu,\gamma}^{\mu}(a,b)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^\gamma K_\nu(nb/a)}{(n^2+a^2)^\mu}, \qquad (\mu>0, \nu\geq 0, b>0, \gamma\in {\bf R})$$ 在 $|a|\to\infty$ 且 $|\arg\,a|<\pi/2$ 而其他参数固定时的渐近展开，其中 $K_\nu(x)$ 是 $\nu$ 阶第二类修正Bessel函数。我们采用Mellin变换方法确定涉及Riemann zeta函数的 $S_{\nu,\gamma}^{\mu}(a,b)$ 的积分表示。该积分的渐近估计涉及适当的留数计算。给出了数值例子以说明所获得的各类展开的精度。还考虑了 $S_{\nu,\gamma}^\mu(a,b)$ 的交错变体的展开。