带二次变元修正贝塞尔函数之和的渐近展开

我们考察由 $$S_\nu(a)=\sum_{n\geq 1} (\frac{1}{2} an^2)^{-\nu} K_\nu(an^2)\qquad (|\arg\,a|<\pi/2)$$ 给出的、变元依赖求和指标二次方的修正贝塞尔函数之和,其中参数 $|a|\to 0$。结果表明正实 $a$ 轴是一条斯托克斯线,渐近展开中存在的无穷多个越来越次主导的指数小项在跨越该射线时经历平滑但迅速的过渡。我们特别关注当 $a$ 取正值趋于 0 时斯托克斯线上展开的细节。给出了数值结果以支持该渐近理论。