Bessel、Hankel 与 Airy 函数的数值计算

在物理学中，对具有大阶数和大自变量的单个 Bessel 或 Hankel 函数进行数值求值是一个公认的难题。当需要求值高阶数和高自变量的单个函数时，递推关系是低效的。著名的均匀渐近展开中的系数具有涉及 Airy 函数的复杂数学结构。对于 Bessel 和 Hankel 函数，我们提出了一种基于三种方法组合的自适应算法： 确定了 Debye 多项式的数值求值， 重点考虑 Stokes 线的 Airy 函数计算，以及 通过非线性序列变换对 Bessel 和 Hankel 函数的整个均匀渐近展开进行重求和。一般而言，对于特殊函数的求值，我们提倡使用非线性序列变换，以弥合大自变量渐近展开与小自变量 Taylor 展开（“渐近重叠原理”）之间的差距。这一一般原理需要针对当前情况进行强力自适应，并考虑到自变量的复相位。结合上述技术，我们观察到有可能扩展现有算法的适用范围。给出了数值示例和参考值。